Simetría y periodicidad

SIMETRÍA 

• Una función es par cuando cumple que f(−x) = f(x) para cualquier valor de su dominio. Las funciones pares son simétricas respecto del eje de ordenadas.
• Ejemplo
  

  ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$

  Si calculo cuanto sería f (-x), es decir, sustituyo x por -x.
  f(-x) = (-x)^2 +1 =
  ${\displaystyle f(-x)=(-x)^{2}+1}$

                    Por tanto Esta función tiene simetría par.
Nota:  Todas las funciones en las que todas las "x" estén elevadas a exponentes pares, serán de este tipo, tengan o no término independiente. Recuera que si tengo 2x, el exponente de esta x es 1, y por tanto no sería par.

• Una función es impar cuando cumple que f(−x) = −f(x) para cualquier valor de su dominio. Las funciones impares son simétricas respecto del origen (Punto 0.0 del eje de coordenadas).
• Ejemplos

                   
                                   
Nota:  Todas las funciones en las que todas las "x" estén elevadas a exponentes impares y no tengan término independiente serán de este tipo.

Ejemplo

Observa estas gráficas:

f(−1) = f(1), f(−2) = f(2), ..., f(−x) = f(x)

Es par, f(x) es simétrica respecto al eje Y.   
Nota: Si doblo la gráfica por el eje y la gráfica de ambos lados coincidiría

g(−1) = −g(1),..., g(−x) = −g(x)

Es impar, g(x) es simétrica respecto al origen de coordenadas.
Nota: Para ver esta simetría, tendría que llevar el primer cuadrante de los ejes de coordenadas hasta el tercer cuadrante. Imagina que los cuatro cuadrantes pudieran girar en un papel, si pinchamos un eje imaginario en el centro de coordenadas y giras 180º la imagen original coincidiría con la del después del movimiento.
Ejemplo de funciones simétricas

Periodicidad

Una función es periódica si sus valores se repiten cada cierto intervalo. La longitud del intervalo se llama periodo, T.
Si f es periódica de periodo T, entonces f(x) = f(x + T) = f(x + 2T) …

 

Se observa que f(1) = f(3) = f(5) = 40 o que  f(0,5) = f(2,5) = f(4,5) = 20, es decir, cada dos unidades de distancia, se repite el mismo valor de y. Se dice que la función es periódica, de periodo T = 2.
Ejemplos de funciones periódicas
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