Ecuaciones de la recta

Vamos a ver diferentes formas de expresar la misma información. Se pueden transformar unas en otras aplicando operaciones.

1. Ecuación explícita (despejamos la y)

Una recta de la forma y = mx + n, donde m es la pendiente y n es la ordenada en el origen (punto de corte con el eje y), está expresada en forma explícita.

• La ecuación explícita de una recta se puede calcular conociendo dos de sus puntos.   

Ejemplo: Halla la ecuación de la recta que pasa por A(−1, −1) y B(2, 3)
Como A y B son puntos de la recta, sus coordenadas deben cumplir la ecuación, es decir, al sustituir las coordenadas en la ecuación y = mx + n se obtiene:(Recordamos que el primer valor, en las coordenadas de un punto, es de "x" y el segundo de "y")

• $\begin{array}{c}-1=m\cdot (-1)+n\end{array}$
  $\begin{array}{c}\\ 3=m\cdot \left(2\right)+n\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{c}\end{array}$
  $\begin{array}{c}-1=-m+n\end{array}$
  $\begin{array}{c}\\ 3=2m+n\end{array}\}\Rightarrow -1+m=3-2m\Rightarrow m=\frac{4}{3}\text{y}n=\frac{1}{3}$
  La ecuación de la recta es $y=\frac{4}{\mathrm{/3}}x+\frac{\mathrm{1/}}{3}$
  .
• La ecuación explícita de una recta se puede calcular conociendo uno de sus puntos y la pendiente.

Ejemplo: Calcula la ecuación explícita de la recta cuya pendiente es m = 3 y que pasa por el punto A(2, −4).

Como m = 3, la ecuación de la recta es y = 3x + n.
El punto A(2, −4) pertenece a la recta, por tanto debe verificar su ecuación: (Sustituyo el valor de "x" e "y" del punto que me dan)

−4 = 3 ⋅ 2 + n ⇒ n = −4 − 6 = −10 

La ecuación explícita de la recta es y = 3x − 10.

2. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Si una recta pasa por los puntos P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂), su ecuación es:

$\frac{y-y_{\mathrm{1/}}}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{{\mathrm{/x}}_2-x_1}$

Ejemplo: Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, −3) y B(1, 5).

$\frac{y-(-3)/}{5-(-3)}=\frac{x-\mathrm{2/}}{1-2}\Rightarrow \frac{y+\mathrm{3/}}{8}=\frac{x-\mathrm{2/}}{-1}$

3. Ecuación punto-pendiente

Si una recta tiene una pendiente m y pasa por el punto P(x₁, y₁), su ecuación es:

                              y − y₁ = m(x − x₁)

Ejemplo: Halla la ecuación punto-pendiente de una recta con pendiente m = −2 y que pasa por el punto A(0, 2). Exprésala en forma explícita.

• Se sustituye la pendiente y las coordenadas del punto en la ecuación:

                        y − 2 = −2(x − 0) ⇒ y − 2 = −2x

• Para hallar la forma explícita, despejamos y: y = −2x + 2

Observa que, como $m=\frac{y_2-y_{\mathrm{1/}}}{x_2-x_1}$, se cumple: $\frac{y-y_1}{{\mathrm{/y}}_2-y_1}=\frac{x-x_{\mathrm{1/}}}{x_2-x_1}\Rightarrow y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$
Es decir, y − y₁ = m(x − x₁). Podemos pasar fácilmente de la ecuación de recta que pasa por dos puntos a la ecuación punto - pendiente. Y de aquí despejando "y" obtendriamos la ecuación explícita.

4. Ecuación general o implícita (todo a un miembro e igualamos a 0)

Una recta de la forma ax + by + c = 0 está escrita en forma general o implícita.

Ejemplo: Expresa la recta $y=\frac{\mathrm{1/}}{3}x+\frac{\mathrm{1/}}{6}$en forma general.

$y=\frac{\mathrm{1/}}{3}x+\frac{\mathrm{1/}}{6}\Rightarrow \frac{6\mathrm{y/}}{6}=\frac{2\mathrm{x/}}{6}+\frac{\mathrm{1/}}{6}\Rightarrow 6y=2x+1\Rightarrow -2x+6y-1=0$

Actividades 9, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18